G.Projetiva: um triângulo diagonal de três paralelogramos - Exercício resolvido

Exercício resolvido de Geometria Projetiva: um triângulo diagonal de três paralelogramos. 

Sejam dados no plano afim um triângulo e três
paralelogramos tais que, para cada um deles o lado do triângulo é diagonal do
paralelogramo e os outros dois lados são lados adjacentes do paralelogramo. Demonstrar que as segundas diagonais são concorrentes.

Resolução:

Para demonstrar que as segundas diagonais são concorrentes, precisamos mostrar que elas se encontram em um único ponto.

1. Representar um triangulo e chamá-lo de ABC;

 2. Traçar três paralelogramos ADBP, BECP e CFAP, onde AB é diagonal do paralelogramo ADBP, BC é diagonal do paralelogramo BECP e AC é diagonal do paralelogramo CFAP.

3. Agora, vamos traçar as diagonais secundarias dos paralelogramos ADBP, BECP e CFAP. Veja que todas passam pelo ponto P.

Observa a imagem:

Portanto, as segundas diagonais dos três paralelogramos se encontram em um único ponto P, o que significa que elas são concorrentes.

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