Lista de 7 exercícios resolvidos: Módulo, equações e funções modulares.

Módulo, equações e funções modulares: 7 exercícios resolvidos.

Sete (7) Exercícios resolvidos de equações e funções modulares:

1. Escreve com ajuda dos módulos as seguintes afirmações:

a) A distância entre os pontos da reta numérica cujas abcissas são x e 4 é igual a 2.

b) d(-4;x)=-8

Resolução:

🕳️Sabemos que a distância entre dos pontos que estão na mesma reta é dada pelo módulo da diferença: 

a) d(x; 4) =2 ⇒|x-4|=2

b) d(-4; x) =-8 ⇔ |-4-x|=-8 ⇒IMPOSSÍVEL, o módulo de um número é sempre um valor positivo.

2. Calcule as seguintes expressões:

a) $\sqrt{\left ( 5-\sqrt{17} \right )^2}$

b) $\frac{\sqrt{(5-\sqrt{26})^2}}{\left | \sqrt{26}-5 \right |}$

Resolução:

a) $\sqrt{\left ( 5-\sqrt{17} \right )^2}$

Sabemos que $\sqrt{a^2}=\left | a \right |$

então:

$\sqrt{\left ( 5-\sqrt{17} \right )^2}=\left |  5-\sqrt{17}\right |$ ≈|1,123|= 1,123. 

b) $\frac{\sqrt{(5-\sqrt{26})^2}}{\left | \sqrt{26}-5 \right |}$

$\frac{\sqrt{(5-\sqrt{26})^2}}{\left | \sqrt{26}-5 \right |}$ = $\frac{\left |5 - \sqrt{26}\right |}{\left | \sqrt{26}-5 \right |}$

Como $\left | a-b \right |=\left | b-a \right |$

Então 

$\frac{\left |5 - \sqrt{26}\right |}{\left | \sqrt{26}-5 \right |}$ =$\frac{\left |5 - \sqrt{26}\right |}{\left | 5-\sqrt{26} \right |}=1$. 

3. Constrói o gráfico de y = |x² - 4x| e indique:

a) Domínio e Contradomínio;

b) Zeros da função e Ordenada da origem;

c) Intervalos de Monotonia;

d) Variação do Sinal

Resolução:

a) Domínio = x∈R

 Contradomínio = y∈ [0; +∞[ ou  y∈  $ R^+_0 $

b) Zeros da função: x={0; 4}

Ordenada da origem y=0

c) Intervalos de Monotonia

Monotonia: 

Decrescente em x∈]-∞; 0[ U ]2; 4[

Crescente em x∈]0; 2[ U ]4; +∞[

d) Variação do Sinal

Função positiva (+) em x∈R-{0; 4}

Função nula (0) em x∈R-{0; 4}

A função não tem parte negativa

4. Resolva as seguintes equações modulares:

a) |3x + 2|= 5x

b) |2x-3| = 5

Resolução:

a) |3x + 2|= 5x

A condição é que o módulo de um número é sempre não-negativo:

Logo 5x≥0 => x≥0

3x+2=5 ou 3x+2=-5x

3x-5x=-2 ou 3x+5x=-2

-2x=-2 ou 8x=-2

2x=2 ou 8x=-2

x=2/2 ou x=-2/8

x=1 ou x=-1/4

Temos que x=-1/4 não pode ser solução porque não satisfaz a condição (não é ≥0)

Solução: x={1}

b) |2x-3| = 5

2x-3=5 ou 2x-3=-5

2x=5+3 ou 2x=-5+3

2x=8 ou 2x=-2

x=8/2 ou x=-2/2

x=4 ou x=-1

Solução: x={-1; 4}

5. Resolva as seguintes inequações modulares.

a) |13-2x| ≤8

b) |x + 2| > 2x + 1

Resolução:

a) |13-2x| ≤8

13-2x ≤8 e 13-2x ≥ -8

-2x ≤8-13 e -2x  ≥ -8 -13

-2x ≤-5 e -2x  ≥ -21

2x ≥ 5 e 2x ≤ 21

x ≥ 5/2 e x ≤ 21/2

Solução: x ∈ [5/2; 21/2]

b) |x + 2| > 2x + 1

A condição é que o módulo de um número é sempre não-negativo:

Logo 2x+1≥0 => 2x≥-1 => x≥-1/2

x+2>2x+1 e x+2 < -(2x+1)

x+2>2x+1 e x+2 < -2x-1

x-2x>1-2 e x+2x < -1-2

-x>-1 e 3x < -3

x<-1 e x<-3/3

x<-1 e x<-1

x<-1

Solução: x ∈]-∞; - 1[

6. Resolva as seguintes equações modulares.

a) |5x-3|=7

b) |7x-1| = |2x+5|

Resolução:

a) |5x-3|=7

5x-3=7 ou 5x-3=-7

5x=7+3 ou 5x=-7+3

5x=10 ou 5x=-4

x=10/5 ou x=-4/5

x=2 ou x=-4/5

Solução: x={-4/5; 2}

b) |7x-1| = |2x+5|

7x-1=2x+5 ou 7x-1= -2x-5

7x-2x=5+1 ou 7x+2x=-5+1

5x=6 ou 9x=-4

x=6/5 ou x=-4/9

Solução: x={-4/9; 6/5}

7. Resolva as seguintes equações e inequações modulares.

c) |7x-2| <4

d) |2x-1|=x-1

Resolução:

c) |7x-2| <4

7x-2<4 e 7x-2>-4

7x< 4+2 e 7x> -4+2

7x<6 e 7x>-2

x<6/7 e x>-2/7

Solução: x ∈ ]-2/7; 6/7[

d) |2x-1|=x-1

2x-1=x-1 ou 2x-1= -(x-1)

2x-1=x-1 ou 2x-1= -x+1

2x-x=-1+1 ou 2x+x=1+1

x=0 ou 3x=2

x=0 ou x=2/3

Solução: x={0; 2/3}

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