Lista de 20 Exercícios resolvidos de Permutações e Combinações

 

1. Quantos números de 3 algarismos
podemos formar com os algarismos do sistema decimal sem repetir?

Resolução: 

Como sabemos,
no sistema decimal, temos 10 algarismos distintos que são: 0,1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8 e 9; então para formar um número de 3 algarismos sem repeti-los: teremos:

Um número
de 3 algarismos é da forma $x \ x \ x $: sabemos
que  o primeiro algarismo não deve ser zero, então só temos 9 algarismos possíveis para 1º algarismo (x_
_); 

Sem repeti-los significa que restam apenas 8 possibilidades para o 2º
algarismo ( xx_) e 8 possibilidades para o 3º algarismo.
Portanto temos: $P= 9∗9∗8= 648$ números diferentes

$\boxed{P=9∗(10-1)(10-2) \\ P=9∗9∗8\\ P=648 \\ P=648 \ números}$

 

2. Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os
algarismos do sistema decimal sem repetir de modo que:

a) comecem por 1?

b) comecem por 2 e terminam
por 5,

c) sejam divididos por 5.

 

Resolução: 

Como sabemos,
no sistema decimal, temos 10 algarismos distintos que são: 0,1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8 e 9; então para formar um número de 3 algarismos sem repeti-los: teremos:

a) se começam por 1.

Os números estarão com a forma: $ \boxed{1 \ X \ X}$

Se fixarmos o 1 como 1º algarismos (1_ _) restam 9 possibilidades para o 2º algarismo e 8
possibilidades para o 3º algarismo: 9∗8=72 números distintos.

$\boxed{P=1∗(10-1)(10-2)\\ P=1∗9∗8\\ P=72 \\ P=72 \ números}$

 

b) se começam por 2 e terminam por 5,

Os números estarão com a forma: $ 2 \ X \ 5$

Se fixarmos o 2 como 1º algarismo e o 5 como último algarismo (2_ 5) restam apenas 8 possibilidades
para o 2º algarismo:

$\boxed{P=1∗(10-2)∗1\\  P=1∗8∗1\\ P=8 \\ P=8 \ números}$

 

c) sejam divisíveis por 5.

Os números divididos por 5 são os múltiplos de 5: $\boxed{0, 5,
10, 15, ...}$ São números com a forma $\boxed{x \ x \ 0}$ ou $ \boxed{x \ x \ 5}$,

Para o caso $\boxed{x \ x \ 0}$ temos: 9 possibilidades para o
primeiro algarismo e 8 possibilidades para o segundo algarismo.

Para o caso $\boxed{x \ x \ 5}$ como o 1º algarismo sempre não deve
ser zero, temos: 8 possibilidades para o primeiro algarismo e 8 possibilidades
para o segundo algarismo.

No total temos: $9∗8 + 8∗8=72+64=136$ possibilidades de números
diferentes.

$\boxed{P_1=9∗8∗1\\ P_1=72\ números \\ \\ P_2=8∗8∗1 \\  P_2=64 \ números  \\ \\ P_T= P_1+P_2  \\ P_T =72+64 \\ P_T = 136\ números}$

 

3. Cinco (5) amigos decidem dar um passeio de automóvel de 5
lugares.

a) De quantas maneiras podem sentar?

b) De quantas maneiras podem sentar sabendo que só um (1) tem
carta de condução?  

c) De quantas maneiras podem sentar sabendo que só um (1) tem
carta de condução e a Eliza tem que ir a janela?

Resolução:

a) De quantas maneiras podem sentar?

Cinco amigos: n=5. Aqui não há nenhuma restrição, isto indica que
cada um deles pode ocupar qualquer lugar do automóvel

$\boxed{P=n! \\ P=5∗4∗3∗2∗1 \\ P = 120 \ Maneiras}$ 

Resposta: São 120 maneiras cinco (5) amigos podem sentar num automóvel de
5 lugares.

 

b) De quantas maneiras podem sentar
sabendo que só um (1) tem carta de condução?  

só um (1) tem carta de condução => significa que um ocupará o
lugar do motorista e não poderá trocar/ permutar com os outros; sendo assim
restam 4 pessoas que cada um deles pode ocupar um dos 4 lugares:

$\boxed{P=4! \\ P=4∗3∗2∗1 \\ P = 24 \ Maneiras}$ 

Resposta: São 24 maneiras em que cinco (5) amigos podem sentar num automóvel
de 5 lugares sabendo que só um (1) tem carta de condução.

 

 

c) De quantas maneiras podem sentar sabendo que só um (1) tem
carta de condução e a Eliza tem que ir a janela?

Sabemos que um automóvel
de 5 lugares temos 4 janelas, subtraindo a janela do motorista, nos restam somente
3 janelas => isto significa que a Eliza terá 3 apenas possibilidades de
escolha lugares para sentar..

Dos 5 amigos
subtraindo o motorista e a Elisa, restam 3 pessoas que cada uma delas poderá ocupar
qualquer um dos 3 lugares.

$\boxed{P=(motorista)(Elisa)(3!)
\\ P=1∗3∗3! \\ P = 1∗3∗(3∗2) \\ P=3∗6 \\ P=18 \ Maneiras}$ 

Resposta: São 18 maneiras em que cinco (5) amigos podem sentar num automóvel
de 5 lugares sabendo que só um (1) tem carta de condução e a Eliza tem que ir a
janela.