Dada a função f(x) = 2x²–x determinar o declive no ponto x=2

Dada a função y=f(x) = 2x² –x determinar o declive no ponto x=2.

Dada a função $f(x) = 2x^2–x$ determinar o declive no ponto x=2.

Resolução:

O declive de uma função f(x) no ponto $x_0$ é dado por:

$$f'(x_0)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta f}{\Delta x}$$

$f'(x_0)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f( x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Agora, devemos substituir o ponto $x_0$ por 2 que é o valor do ponto dado. 

$f'(2)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f( 2+\Delta x) - f(2)}{\Delta x}$.

Vamos calcular a parte os termos: $f( 2+\Delta x)$ e $f(2)$

🕳️  f(2+∆x)

$=2(2+∆x)^2 - (2+∆x)$

 $=2[4+4∆x+(∆x)^2]-2-∆x$

 $=8+8∆x +(∆x)^2-2-∆x$

 $ =(∆x)^2+7∆x+6$

🕳️ f(2) 

 $=2(2)^2 - (2)=8-2=6$

Então,  substituindo as expressões obtidas em $f'(2)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f( 2+\Delta x) - f(2)}{\Delta x}$. 

teremos:

$f'(2)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{[∆x)^2+7∆x+6] - 6}{\Delta x}$

$f'(2)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{(∆x)^2+7∆x} {\Delta x}$

Colocar o ∆x em evidência:

$f'(2)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{∆x(∆x+7)} {\Delta x}$

Simplificar a fracção (cortando e eliminar um ∆x) 

$f'(2)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} ∆x+7=0+7=7$

Resposta:

Dada a função f(x) = 2x²–x determinar o declive no ponto x=2 é 7.

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