Como são os sinais das raízes de uma equação quadrática?

 

Como são as raízes de uma equação quadrática?

As raízes de uma equação quadrática são ambas negativa?

Quando é que uma equação quadrática possui raízes do mesmo sinal?

Quando é que uma equação quadrática possui raízes de sinais diferentes?

Quando é que uma equação quadrática possui raízes simétricas?

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Uma equação quadrática ou equação polinomial de 2º grau ou simplesmente equação de 2º grau é do tipo: $$ax^2+bx+c=0$$

As raízes são:  $x=\frac{-b \pm \sqrt{△}}{2a}$ onde $△=b^2-4ac$

Uma equação quadrática pode também ser escrita na sua forma canónica como: $a(x-x_1)(x-x_2)=0$. Ou também como a soma $(S)$ e produto $(P)$ das raízes como: $ax^2-Sx+P=0$; onde $S=-\frac{b}{c}$ e $P=\frac{c}{a}$.

Com estas informações temos as seguintes possibilidades de raízes:

$△<0 \Rightarrow$ a equação não possui raízes reais $(x \notin R)$.

$△=0 \Rightarrow$ a equação possui duas (2) raízes reais e iguais $(x_1=x_2=-b/2a)$.

$△>0 \Rightarrow$ a equação possui duas (2) raízes reais e diferentes.

$P>0 \Rightarrow$ a equação possui duas (2) raízes do mesmo sinal (todas positivas ou todas negativas).

$P<0 \Rightarrow$ a equação possui duas (2) raízes de sinais diferentes.

$P=0 \Rightarrow$ a equação possui pelo menos uma das raízes nula.

$S=0 \Rightarrow$ a equação possui duas (2) raízes simétricas.

$P>0$ e $S<0 \Rightarrow$ a equação possui duas (2) raízes positivas.

$P>0$ e $S>0 \Rightarrow$ a equação possui duas (2) raízes negativas.

 

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