5 Exercícios Resolvidos sobre Interpretação Geométrica do Módulo

INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÓDULO

O que é módulo de um número real?

Geometricamente o módulo de um número real "a" representa a distância entre o ponto a e a origem. Como distância é geralmente representada por d, então |a|=d(0;a)

d(0;a)=|a|

 

O módulo ou valor absoluto de um número real qualquer é sempre um valor não negativo: |a| = a e | -a| = a

O que é módulo da diferença entre dois números?

A distância entre dois pontos "a'" e "b" situados na mesma reta real, é representada pelo módulo da diferença entre eles.

d(a; b)=|a-b|

Como calcula-se, analiticamente, o módulo da diferença entre dois números?

 Para calcular analiticamente o módulo da diferença, usa-se:|a-b|=a-b  ou |a-b|=b-a

|a-b|=a-b  ou |a-b|=b-a

Nota: o módulo sempre deve ser um valor não negativo.

Quando é que a distância entre dois números é nula?

A distância entre dois números só é nula (igual a zero) se os dois números forem iguais. Ou seja, o módulo da diferença entre dois números reais (a, b) só será nulo se os dois números forem iguais (a, a). 

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Determine o Valor de x, em: 

1) d(0; -3) =x

2) d(x; -7)=10

3) d(x; 8)=0

4) d(-7x; 14)=21

5) d(x²; 5)=4

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Resolução: 

1) d(0; -3) =x

Como d(a; b)=|a-b| então temos:

d(0; -3)=x ⇔ |0-(-3)|=x

⇔ |0+3|=x

⇔ |3|=x

⇔ 3=x ⇔ x=3

Resposta: O valor de x é 3.

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2) d(x; -7)=10

Como: d(a; b)=|a-b| então temos:

d(x; -7)=10 ⇔  |x-(-7)|=10

 ⇔  |x+7|=10

E da definição de módulo de um número real, temos:

|x+7|=10  ⇔  x+7=10 ∨ x+7=-10

 ⇔  x+7=10 ∨ x+7=-10

 ⇔  x=10-7 ∨ x=-10-7

 ⇔  x=3 ∨ x=-17

Resposta: x={- 17; 3} 
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3) d(x; 8)=0

Como: d(a; b)=|a-b| então temos:

d(x; 8)=0  ⇔  |x-8|=0

E da definição de módulo de um número real, temos:

|x-8|=0  ⇔  x-8=0 ∨ x-8=-0

 ⇔  x-8=0 ∨ x-8=0

 ⇔  x=0+8 ∨ x=0+8

 ⇔  x=8 ∨ x=8

Já que a distância dada é nula, significa que o número x é o próprio 8, isto é, a distância entre dois números só é nula (igual a zero) se os dois números forem iguais.
Resposta: x={8} 
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4) d(-7x; 14)=21

Como: d(a; b)=|a-b| então temos:

d(-7x; 14)=21  ⇔  |-7x-14|=21

E da definição de módulo de um número real, temos:

 |-7x-14|=21  ⇔  -7x-14=21 ∨ -7x-14=21

 ⇔ -7x-14=21  ∨ -7x-14=-21

 ⇔  -7x=21+14  ∨ -7x=-21+14

 ⇔  -7x=35 ∨ -7x=-7

 ⇔  7x=-35 ∨ 7x=7

 ⇔  x=-35/7 ∨ x=7/7

 ⇔  x=-5∨ x=1

Resposta: x={-5; 1} 
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5) d(x²; 5)=4

Como: d(a; b)=|a-b| então temos:

d(x²; 5)=4  ⇔ |x²-5|=4

E da definição de módulo de um número real, temos:

|x²-6|=4  ⇔  x²-5=94 ∨ x²-5=-4

 ⇔ x²-5=4 ∨ x²-5=-4

 ⇔  x²=4+5 ∨ x²=-4+5

 ⇔ x2=9 ∨ x²=1

  ⇔ x=±√9  ∨ x=±√1

  ⇔ x=±3 ∨ x=±1

 Resposta: x={-3; -1; 1; 3} 
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